Week 3 傅里叶变换

引言

傅里叶变换在概率论中有重要的应用，特别是与特征函数相关联，下面笔者将简要介绍复数基本知识和傅里叶变换的基本性质以方便同学们在概率论中应用，限于部分知识超出了笔者和同学们的所学，定理将不加证明的给出，感兴趣的读者可以尝试证明

复数与复变函数

复数域与扩充复平面

复数 $z=x+iy$，引入坐标，得到复平面 $\mathbb{C}$，引入无穷远点 $\infty$，组成扩充复平面

复微分

定义（函数极限）

$设f(z)是复平面上定义的单值函数，z_0是复平面中的一个点$， $若对于任意\epsilon > 0 ，存在一个正数\delta，使得当 0 < |z - z_0| < \delta 时$， $恒有|f(z) - A| < \epsilon，则称\lim_{z \to z_0} f(z) = A$

定义（连续函数）

$若\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)，则称f(z)在z=z_0处连续$

定义（复平面的拓扑）

$复平面上同样可以定义开集、闭集、边界，集合的连通性、紧性等等$， $同样可以定义区域为连通的开集$

定义（导数）

$设f(z)是复平面上定义在区域D上的函数，z是复平面中的一个点$， $若对于所有的复数h，极限\lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}存在且相同，则称f(z)在z点可微$ $记作f’(z)，如果f在其定义域上每一点都可微$， $则称其为其定义域上的\textbf{解析函数}或\textbf{全纯函数}$

下面不加证明的给出函数在一点可微的必要条件

Cauchy-Riemann方程

\[\frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}\]

复积分

复积分是指沿着复平面中的一条路径计算复函数的积分。设$\gamma$是一个可求长曲线， $f(z)=u(z)+iv(z),dz=dx+idy$，则

\[\int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma}(u+iv)(dx+idy)=\int_{\gamma}(udx-vdy)+i\int_{\gamma}(vdx+udy)\]

定义（复积分）

$特别地，当\gamma分段可微时，其方程为z=z(t)(a\leq t\leq b),f(z)在\gamma上定义且连续$ $则f(z(t))也是t的连续函数$ \(\int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) z'(t) \, dt\)

傅里叶变换

傅里叶变换的定义

为了方便概率论的表述，我们接下来的积分默认为勒贝格积分。为了记号简化，用$m$表示 $\mathbb{R^1}$上勒贝格测度$dx$被$\sqrt{2\pi}$除的结果，即

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dm(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx\]

下面给出傅里叶变换的定义

定义（傅里叶变换）

\[\hat{f}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-itx} dm(x), t \in \mathbb{R}^1\]

再给出傅里叶变换的性质前，我们先回顾定义一下函数的卷积

定义（卷积）

\[(f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y) g(y) dm(y), x \in \mathbb{R}^1\]

傅里叶变换的性质

下面设$f$（勒贝格）可积，即 $g\in \mathbb{L}^1$，$\alpha$和$\lambda是实数$，则有

定理（傅里叶变换的性质）

• $如果g(x)=f(x)e^{i\alpha x}，则\hat{g}(t)=\hat{f}(t-\alpha).$
• $如果g(x)=f(x-\alpha)，则\hat{g}(t)=\hat{f}e^{-i\alpha t}.$
• $如果g\in \mathbb{L}^1，h=f*g，则\hat{h}(t)=\hat{f}(t)\hat{g}(t).$
• $如果g(x)=\overline{f(-x)}，则\hat{g}(t)=\overline{\hat{f}(t)}.$
• $如果g(x)=f(x/\lambda)且\lambda>0，则\hat{g}(t)=\lambda\hat{f}(\lambda t).$
• $如果g(x)=-ixf(x)且g\in \mathbb{L}^1，则\hat{f}可微，且\hat{f}’(t)=\hat{g}(t).$

下面给出一个较为重要的定理，在概率论中可以实现分布函数和特征函数的对应

定理（反演定理）

$如果f\in \mathbb{L}^1 且 \hat{f}\in \mathbb{L}^1，且g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f(t)} e^{ixt} dm(t), x \in \mathbb{R}^1$

$则 g 连续，且f(x)=g(x)$ a.e.

Reference

• 简明复分析（第2版）龚昇
• Real and Complex Analysis (Third Edition) Walter Rudin

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